Question

已知圓C與兩圓x²+（y+4）²=1，x²+（y-2）²=1外切，圓C的圓心軌跡方程為L，設L上的點與點M（x，y）的距離的最小值為m，點F（0，1）與點M（x，y）的距離為n．
（Ⅰ）求圓C的圓心軌跡L的方程；
（Ⅱ）求滿足條件m=n的點M的軌跡Q的方程；
（Ⅲ）試探究軌跡Q上是否存在點B（x₁，y₁），使得過點B的切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積等于．若存在，請求出點B的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）兩圓半徑都為1，兩圓心分別為C₁（0，-4）、C₂（0，2），
由題意得CC₁=CC₂，可知圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線，C₁C₂的中點為（0，-1），直線C₁C₂的斜率等于零，故圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線方程為y=-1，即圓C的圓心軌跡L的方程為y=-1． （4分）
（Ⅱ）因為m=n，所以M（x，y）到直線y=-1的距離與到點F（0，1）的距離相等，
故點M的軌跡Q是以y=-1為準線，點F（0，1）為焦點，頂點在原點的拋物線，
∴=1，即p=2，所以，軌跡Q的方程是x²=4y； （8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）得，，所以過點B的切線的斜率為，
設切線方程為，
令x=0得y=，令y=0得，
因為點B在x²=4y上，所以，
所以切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為S==
設S=，即得|x₁|=2，所以x₁=±2
當x₁=2時，y₁=1，當x₁=-2時，y₁=1，所以點B的坐標為（2，1）或（-2，1）．（14分）
分析：（Ⅰ）確定兩圓心分別為C₁（0，-4）、C₂（0，2），由題意得CC₁=CC₂，從而可求圓心C的軌跡是線段C₁C₂的垂直平分線方程；
（Ⅱ）因為m=n，所以M（x，y）到直線y=-1的距離與到點F（0，1）的距離相等，故點M的軌跡Q是以y=-1為準線，點F（0，1）為焦點，頂點在原點的拋物線，從而可得軌跡Q的方程；
（Ⅲ）設出切線方程，求出切線與兩坐標軸圍成的三角形的面積，利用S=，即可求得結論．
點評：本題考查軌跡方程，考查拋物線的定義，考查切線方程，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．