Question

若（2x-1）⁹展開式的第9項的值為12，則

lim

n→∞

(x+x2+x3+…+xn)=

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令通項中的r=8得到展開式的第9項，列出分成求出x的值，代入極限式子，利用無窮等比遞縮數列的各項和公式求出極限值．

解答：解：二項展開式的通項為T_r+1=（-1）^r2^9-rC₉^rx^9-r
∴T₉=18x=12
∴x=

12

18

=

2

3

∴

lim

n→∞

(x+x2+x3+…+xn)=

2 3

1- 2 3

=2
故答案為：2

點評：解決二項展開式的特定項問題，一般利用的工具是二項展開式的通項公式．