Question

如圖，四邊形ABCD為矩形，且AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E為BC上的動點．

(1)當E為BC的中點時，求證：PE⊥DE；

(2)設PA＝1，在線段BC上存在這樣的點E，使得二面角P－ED－A的平面角大小為．試確定點E的位置．

Answer 1

答案：
解析：

　　方法一：(1)證明：當為的中點時，，從而為等腰直角三角形，

　　則，同理可得，∴，于是，　2分

　　又，且，∴，

　　　4分

　　∴，又，∴．　6分

　　(也可以利用三垂線定理證明，但必需指明三垂線定理)

　　(還可以分別算出PE，PD，DE三條邊的長度，再利用勾股定理的逆定理得證，也給滿分)

　　(2)如圖過作于，連，則，　7分

　　∴為二面角的平面角．　9分

　　設，則．

　　　11分

　　

　　于是　13分

　　，有解之得．

　　點在線段BC上距B點的處．　14分

　　方法二、向量方法．以為原點，所在直線為軸，

　　建立空間直角坐標系，如圖．　1分

　　(1)不妨設，則，

　　從而，　5分

　　于是，

　　所以所以　6分

　　(2)設，則，

　　則　10分

　　易知向量為平面的一個法向量．設平面的法向量為，

　　則應有即解之得，令則，，

　　從而，　12分

　　依題意，即，

　　解之得(舍去)，　13分

　　所以點在線段BC上距B點的處．　14分