Question

已知數(shù)列{a_n}和{b_n}中，數(shù)列{a_n}的前n項和記為S_n．若點(diǎn)（n，S_n）在函數(shù)y=-x²+4x
的圖象上，點(diǎn)（n，b_n）在函數(shù)y=2^x的圖象上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_nb_n}的前-1＜x＜1項和f（x）=15．

Answer 1

【答案】分析：（1）先根據(jù)題設(shè)知S_n=-n²+4n，再利用a_n=S_n-S_n-1求得a_n，驗證a₁是符合，最后答案可得．
（2）由題設(shè)可知b_n=2ⁿ，把a(bǔ)_n一同代入a_nb_n然后用錯位相減法求和．
解答：解：（1）由已知得S_n=-n²+4n
∵當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=-2n+5
又當(dāng)n=1是，a₁=S₁=3，
∴a_n=-2n+5
（2）由已知得b_n=2ⁿ，
∴a_nb_n=（-2n+5）2ⁿ，
∴T_n=3×2+1×4+（-1）×8…+（-2n+5）2ⁿ，
2T_n=3×4+1×8+（-1）×16…+（-2n+5）2ⁿ⁺¹，
兩式相減得T_n=-6+（2³+2⁴+…+2^n-1）+（2n+5）^n-1=（-2n+7）2ⁿ⁺¹-14
點(diǎn)評：本題主要考查了數(shù)列的遞推式解決數(shù)列的通項公式和求和問題．