Question

如圖，AB為半圓的直徑，P為半圓上一點，|AB|=10，∠PAB=a，且sina=，建立適當的坐標系．
（1）求A、B為焦點且過P點的橢圓的標準方程．
（2）動圓M過點A，且與以B為圓心，以2為半徑的圓相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．

Answer 1

解：（1）以直線AB為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系．
∵AB為半圓的直徑，P為半圓上一點，∴∠APB=90°．
在Rt△APB中，|PB|=|AB|sinα==8，∴|AP|=6．
∴|PA|+|PB|=6+8=14=2a，解得a=7，
∵2c=10，∴c=5，
∴b²=a²-c²=24．
∴橢圓的標準方程為：．
（2）由題意可得：|MB|-|MA|=＜10=|AB|，
故動圓圓心M的軌跡在雙曲線的左支上，
∵2c^′=10，2a^′=，∴c^′=5，a^′=，．
其方程為．
分析：（1）建立如圖所示的直角坐標系，利用直角三角形的邊角關系即可得到|PB|，利用勾股定理即可得到|PA|，從而得到2a，|AB|=2c，再利用b²=a²-c²即可得到橢圓的標準方程．
（2）利用兩圓外切的性質和雙曲線的定義即可得出．
點評：熟練掌握圓錐曲線的定義和性質、兩圓外切的性質、勾股定理是解題的關鍵．