Question

（2012•海口模擬）一個六棱柱的底面是正六邊形，其側棱垂直于底面．已知該六棱柱的頂點都在同一個球面上，且這個球的體積為

4π

3

，已知該六棱柱的高為

3

，則這個六棱柱的體積為

9

8

．

Answer 1

分析：根據外接球的體積為

4π

3

，得到外接球半徑R=1．在經過球心和正六棱柱一條側棱的截面中，運用勾股定理算出底面的邊長，從而得出底面六邊形的面積，最后根據柱體體積公式算出這個六棱柱的體積．

解答：解：設該正六棱柱的底面邊長為a，高為h，外接球的半徑為R
設過球心與正六棱柱一條側棱的平面截六棱柱得矩形ABCD，
則矩形一邊長為底面直徑2a，另一邊長為棱柱的高h，
∴矩形對角線AC=

h2+4a2

=

3 +4a2

=2R
∵外接球的體積V_球=

4π

3

R³=

4π

3

∴外接球半徑R=1，得

3 +4a2

=2，解之得a=

1

2

由此可得正六棱柱底面的面積為S=6×

3

4

×（

1

2

）²=

3 3

8

∴這個六棱柱的體積為V_正六棱柱=Sh=

3 3

8

×

3

=

9

8

故答案為：

9

8

點評：本題以正六棱柱為例，考查了球內接幾何體、正六棱柱的性質和球體柱體體積公式等知識，屬于基礎題．