Question

已知函數f(x)=x2+

a

x

(x≠0，a∈R)
（1）判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）求函數y=(

2

3

)x2+

2

x

，x∈[2，+∞）的值域．

Answer 1

分析：（1）當a=0時，f（x）=x²為偶函數；當a≠0時，根據f（-x）≠±f（x），可得結論．
（2）當x≥2時根據導數的符號可得g（x）=x²+

2

x

在區間[2，+∞）是增函數，t=g（x）≥5．再根據 y=(

2

3

)t，t∈[5，+∞)是減函數，求得函數y的值域．

解答：解：（1）當a=0時，顯然f（x）=x²為偶函數；
當a≠0時，由于f（-x）≠±f（x），故f（x）既不是奇函數也不是偶函數．
（2）∵當x≥2時，令函數g（x）=x²+

2

x

，則g′（x）=2x-

2

x2

=

2(x3-1)

x2

≥0，
所以g（x）在區間[2，+∞）是增函數，且其最小值是g（2）=5．
令t=g（x），則t≥5，且y=(

2

3

)t．
再根據 y=(

2

3

)t，t∈[5，+∞)是減函數，∴y≤(

2

3

)5=

32

243

，再根據y＞0，
可得所求的函數值域是(0，

32

243

]．

點評：本題主要考查函數的奇偶性的判斷，利用導數研究函數的單調性，根據函數的單調性求函數的值域．