Question

設函數f（x）=x²+ax+b（a，b為實常數），數列{a_n}，{b_n}定義為：a₁=，2a_n+1=f（a_n）+15，b_n=（n∈N⁺）．已知不等式|f（x）≤2x²+4x-30|對任意實數x均成立．
（1）求實數a，b的值；
（2）若將數列{b_n}的前n項和與乘積分別記為S_n和T_n，證明：對任意正整數n，2ⁿ⁺¹T_n+S_n為定值；
（3）證明：對任意正整數n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．

Answer 1

解：（1）設方程2x²+4x-30=0的兩個根為α，β，則|f（α）|≤0，
從而f（α）=0，同理f（β）=0，
∴f（x）=（x-α）（x-β）．
由韋達定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．
（2）證明：由（1）知f（x）=x²+2x-15，
從而2a_n+1=a_n（a_n+2），即，
∴=，
=，（n∈N⁺），

=2-．
∴對任意n∈N⁺，有2ⁿ⁺¹T_n+S_n為定值．
（3）證明：∵，
∴a_n+1＞a_n＞0，n∈N⁺，
即{a_n}為單調遞增的正數數列，
∵，
∴{b_n}為單調遞減的正數數列，且．
于是，
∵，
∴對任意正整數n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．
分析：（1）設方程2x²+4x-30=0的兩個根為α，β，則|f（α）|≤0，從而f（α）=0，同理f（β）=0，由韋達定理能求出a和b．
（2）由f（x）=x²+2x-15，知=，=，（n∈N⁺），由此能夠證明對任意n∈N⁺，有2ⁿ⁺¹T_n+S_n為定值．
（3）由，知{a_n}為單調遞增的正數數列，由，知{b_n}為單調遞減的正數數列，且．由此能夠證明對任意正整數n，都有2[1-（）ⁿ]≤S_n＜2．
點評：本題考查數列和函數的綜合運用，解題時要認真審題，注意韋達定理、數列性質的合理運用．