Question

已知向量

u

=（x，y）與向量

v

=（y，2y-x）的對應關系用

v

=f（

u

）表示．
（1）證明對任意的向量

a

、

b

及常數m、n，恒有f（m

a

+n

b

）=mf（

a

）+nf（

b

）成立；
（2）設

a

=（1，1），

b

=（1，0），求向量f（

a

）與f（

b

）的坐標；
（3）求使f（

c

）=（p，q）（p、q為常數）的向量

c

的坐標．

Answer 1

（1）設

a

=（x₁，y₁），

b

=（x₂，y₂），
∴m

a

+n

b

=（mx₁+nx₂，my₁+ny₂），
f（m

a

+n

b

）=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
又mf（

a

）=m（y₁，2y₁-x₁），nf（

b

）=n（y₂，2y₂-x₂），
∴mf（

a

）+nf（

b

）=（my₁+ny₂，（2y₁-x₁）m+（2y₂-x₂）n）
=（my₁+ny₂，2（my₁+ny₂）-（mx₁+nx₂））．
∴f（m

a

+n

b

）=mf（

a

）+nf（

b

）成立．
（2）

a

=（1，1），∴f（

a

）=（1，2×1-1）=（1，1）；

b

=（1，0），∴f（

b

）=（0，2×0-1）=（0，-1）．
（3）設

c

=（x，y），∴f（

c

）=（y，2y-x）．
∴（y，2y-x）=（p，q）．
∴

y=p 2y-x=q.

∴

c

=（2p-q，p）．