Question

設a與α分別為空間中的直線與平面，那么下列三個判斷中（ ）
（1）過a必有唯一平面β與平面α垂直
（2）平面α內必存在直線b與直線a垂直
（3）若直線a上有兩點到平面α的距離為1，則a∥α，
其中正確的個數為（ ）
A．3個
B．2個
C．1個
D．0個

Answer 1

【答案】分析：根據面面垂直的判定定理，可舉出反例得到（1）不正確；根據線面垂直的定義和性質，可得（2）是真命題；根據線面垂直的性質和平面的斜線在平面內射影的性質，可得（3）不正確．由此可得正確答案．
解答：解：對于（1），當直線a與平面α垂直時，經過a的任何一個平面都能與平面α垂直，
因此過a有無數個平面β與平面α垂直，故（1）不正確；
對于（2），分兩種情況加以分析：
①當a⊥α時，平面α內任意直線b都與直線a垂直；
②當a與α不垂直時，設a在內的射影為a'，則在α內與a'垂直的直線b必定與直線a垂直．
綜上所述，平面α內必存在直線b與直線a垂直，故（2）正確；
對于（3），若直線l在平面α外，其上兩點A、B滿足AB的中點O在平面α內，
則A、B到平面α的距離相等，可調整A、B位置使這個距離等于1，
此時直線a上有兩點到平面α的距離為1，但直線a與平面α相交，故（3）不成立．
綜上所述，正確命題只有（2）一個．
故選C
點評：本題給出關于空間垂直和平行的命題，判斷它們的真假，著重考查了空間中直線與平面垂直和平行等位置關系的知識點，屬于基礎題．