Question

（2012•福建）函數f（x）在[a，b]上有定義，若對任意x₁，x₂∈[a，b]，有f(

x1+x2

2

) ≤

1

2

[f(x1) +f(x2) ]則稱f（x）在[a，b]上具有性質P．設f（x）在[1，3]上具有性質P，現給出如下命題：
①f（x）在[1，3]上的圖象是連續不斷的；
②f（x²）在[1，

3

]上具有性質P；
③若f（x）在x=2處取得最大值1，則f（x）=1，x∈[1，3]；
④對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有f(

x1+x2+x3+x4

4

) ≤

1

4

[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]
其中真命題的序號是（　　）

Answer 1

分析：根據題設條件，分別舉出反例，說明①和②都是錯誤的；同時證明③和④是正確的．

解答：解：在①中，反例：f（x）=

( 1 2 )x，1≤x＜3 2，x=3

在[1，3]上滿足性質P，
但f（x）在[1，3]上不是連續函數，故①不成立；
在②中，反例：f（x）=-x在[1，3]上滿足性質P，但f（x²）=-x²在[1，

3

]上不滿足性質P，
故②不成立；
在③中：在[1，3]上，f（2）=f（

x+(4-x)

2

）≤

1

2

[f(x)+f(4-x)]，
∴

f(x)+f(4-x)≥2 f(x)≤f(x)max=f(2)=1 f(4-x)≤f(x)max=f(2)=1

，
故f（x）=1，
∴對任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故③成立；
在④中，對任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有f(

x1+x2+x3+x4

4

)=f(

1 2 (x1+x2)+ 1 2 (x3+x4)

2

)
≤

1

2

[f(

x1+x2

2

)+f(

x3+x4

2

 )]
≤

1

2

[

1

2

(f(x1 )+f(x2))+

1

2

(f(x3)+f(x4))]
=

1

4

[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴f(

x1+x2+x3+x4

4

) ≤

1

4

[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，
故④成立．
故選D．

點評：本題考查的知識點為函數定義的理解，說明一個結論錯誤時，只需舉出反例即可．說明一個結論正確時，要證明對所有的情況都成立．