Question

函數(shù)f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

為奇函數(shù)的充要條件是a=

-1

．

Answer 1

分析：根據(jù)奇函數(shù)的定義，可得f（-x）=-f（x），代入計算即可確定a的值，再驗證即可．

解答：解：必要性：因為函數(shù)f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

為奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）
∴

(-x)2+a(-x)

(-x+1)(-x-1)2

=-

x2+ax

(x+1)(x-1)2

∴f（-2）=-f（2）
∴

(-2)2+a(-2)

(-2+1)(-2-1)2

=-

x22+2a

(2+1)(2-1)2

解得a=-1；
充分性：當(dāng)a=-1時，f(x)=

x2-x

(x+1)(x-1)2

=

x

(x+1)(x-1)

，此時滿足f（-x）=-f（x），
故函數(shù)f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

為奇函數(shù)．
∴函數(shù)f(x)=

x2+ax

(x+1)(x-1)2

為奇函數(shù)的充要條件是a=-1．
故答案為：-1．

點評：本題考查函數(shù)奇偶性，考查學(xué)生的計算能力，考查充要條件，屬于基礎(chǔ)題．