Question

已知數列{ a_n}的前n項和為S_n，滿足2S_n+3=3a_n（n∈N^*），{b_n}是等差數列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4．
（I）求數列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（I）利用數列{a_n}的前n項和2S_n+3=3a_n再寫一式，兩式相減可得數列{a_n}是等比數列，從而可得數列{a_n}的通項公式；求出等差數列{b_n}的首項，公差，從而可得{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可得數列{a_nb_n}的前n項和T_n．

解答：解：（I）∵數列{a_n}的前n項和2S_n+3=3a_n（n∈N^*），∴n≥2時，2S_n-1+3=3a_n-1（n∈N^*），
∴兩式相減可得2a_n=3a_n-3a_n-1，∴a_n=3a_n-1（n≥2）
∵n=1時，∴a₁=3，a₂=9
∴數列{a_n}是以3為首項，3為公比的等比數列
∴a_n=3ⁿ；
∵{b_n}是等差數列，且b₂=a₂，b₄=a₁+4，b₂=9，b₄=7，公差為-1，的等差數列
∴b₁=10，
∴b_n=10-（n-1）=11-n．
（II）c_n=a_nb_n=（11-n）•3ⁿ
∴T_n=10•3+9•3²+…+（11-n）•3ⁿ
∴3T_n=10•3²+9•3³+…+（12-n）•3ⁿ+（11-n）•3ⁿ⁺¹
兩式相減可得-2T_n=30-3²-3³-…-3ⁿ-（11-n）•3ⁿ⁺¹=30-

3n+1-9

2

-（11-n）•3ⁿ⁺¹
∴T_n=（

21

4

-

n

2

）•3ⁿ⁺¹-

69

4

點評：本題考查數列的通項與求和，考查錯位相減法，考查學生的計算能力，屬于中檔題．