Question

設等比數列{a_n}的前n項的和為S_n，公比為q（q≠1）．
（1）若S₄，S₁₂，S₈成等差數列，求證：a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差數列；
（2）若S_m，S_k，S_t（m，k，t為互不相等的正整數）成等差數列，試問數列{a_n}中是否存在不同的三項成等差數列？若存在，寫出兩組這三項；若不存在，請說明理由；
（3）若q為大于1的正整數．試問{a_n}中是否存在一項a_k，使得a_k恰好可以表示為該數列中連續兩項的和？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據S₄，S₁₂，S₈成等差數列，q≠1，可得S₁₂=S₄+S₈，化簡可得2q⁸=1+q⁴，進而可以證明a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差數列；
（2）根據S_m，S_k，S_t（m，k，t為互不相等的正整數）成等差數列，可得2S_k=S_m+S_t，化簡可得2a1qk=a1qm+a1qt，從而可得a_m+1，a_k+1，a_t+1成等差數列，即可得出結論；
（3）假設存在一項a_k，使得a_k恰好可以表示為該數列中連續兩項的和，設a_k=a_n+a_n+1，可得k＞n，q^k-n=1+q
，從而可得結論．

解答：解：（1）若S₄，S₁₂，S₈成等差數列，q≠1，則S₁₂=S₄+S₈，
∴

2a1(1-q12)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q8)

1-q

∴2q⁸=1+q⁴
∴a₁₀+a₁₄=a1q9+a1q13=a1q9(1+q4)=a1q9•2q8=2a₁₈，
∴a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差數列；
（2）若S_m，S_k，S_t（m，k，t為互不相等的正整數）成等差數列，則2S_k=S_m+S_t，
∴

2a1(1-qk)

1-q

=

a1(1-qm)

1-q

+

a1(1-qt)

1-q

∴2q^k=q^m+q^t
∴2a1qk=a1qm+a1qt
∴a_m+1，a_k+1，a_t+1成等差數列，
∴a_m+2，a_k+2，a_t+2成等差數列；
（3）假設存在一項a_k，使得a_k恰好可以表示為該數列中連續兩項的和，設a_k=a_n+a_n+1，
則a1qk-1=a1qn-1+a1qn
∵a₁≠0，q＞1
∴q^k-1=q^n-1+qⁿ
∴q^k=qⁿ+qⁿ⁺¹
∵qⁿ⁺¹＞1
∴q^k＞qⁿ
∴k＞n，q^k-n=1+q
當q為偶數時，q^k-n為偶數，而1+q為奇數，假設不成立；
當q為奇數時，q^k-n為奇數，而1+q為偶數，假設也不成立，
綜上，{a_n}中不存在a_k，使得a_k恰好可以表示為該數列中連續兩項的和．

點評：本題考查等差數列與等比數列的綜合，考查等差數列的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．