Question

已知橢圓mx²+ny²=1，直線y=x+1與該橢圓相交于P和Q兩點，且OP⊥OQ，|PQ|=

10

2

，求橢圓的方程．

Answer 1

分析：把直線方程與橢圓方程方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關系，由

OQ

⊥

OP

得x₁x₂+y₁y₂=0，再利用弦長公式即可得出．

解答：解：依題意，點P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）的坐標滿足方程組

mx2+ny2=1 y=x+1

，
化為（m+n）x²+2nx+n-1=0，
∴x1+x2=-

2n

m+n

，x1x2=

n-1

m+n

           
由

OQ

⊥

OP

得x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（x₁+1）（x₂+1）=0，即2x₁x₂+（x₁+x₂）+1=0，
∴

2(n-1)

m+n

-

2n

m+n

+1=0，化為m+n=2．
又由|PQ|=

10

2

，∴

10

2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

2[( -2n m+n )2- 4(n-1) m+n ]

，
把m+n=2代入整理為4n²-8n+3=0，解得n=

3

2

或

1

2

．
當n=

3

2

時，m=

1

2

；當n=

1

2

時，m=

3

2

．
故所求橢圓方程為

x2

2

+

3y2

2

=1，或

3x2

2

+

y2

2

=1．

點評：熟練掌握直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為直線方程與橢圓方程方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系、

OQ

⊥

OP

?x₁x₂+y₁y₂=0、弦長公式等是解題的關鍵．