Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，2AC=AA₁=BC=2．若二面角B₁-DC-C₁的大小為60°，則AD的長為（　　）

• A．

  2

• B．

  3

• C．2
• D．

  2

  2

Answer 1

分析：在面ACC₁A₁內過C₁作C₁E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB₁，說明∠B₁EC₁為二面角B₁-DC-C₁的平面角為60°，通過面積求AD的長．

解答：解：∵∠A₁C₁B₁=∠ACB=90°，
∴B₁C₁⊥A₁C₁，
又由直三棱柱性質知B₁C₁⊥CC₁，
∴B₁C₁⊥平面ACC₁A₁．
如圖，在面ACC₁A₁內過C₁作C₁E⊥CD，交CD或延長線或于E，連EB₁，
由三垂線定理可知∠B₁EC₁為二面角B₁-DC-C₁的平面角，
∴∠B₁EC₁=60°．
由B₁C₁=2知，C₁E=

2 3

3

設AD=x，則DC=

x2+1

．
∵△DC₁C₁的面積為1，
∴

1

2

．

x2+1

．

2 3

3

=1，
解得x=

2

即AD=

2

故選A

點評：本題考查平面與平面垂直的判定，二面角及其度量，考查邏輯思維能力，空間想象能力，是中檔題．