Question

已知向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），函數f（x）=（

m

+

n

）•

m

．
（1）求f（x）的最小正周期T；
（2）已知a，b，c分別為△ABC內角A，B，C的對邊，A為銳角，a=2

3

，c=4，且f（A）恰是f（x）在[0，

π

2

]上的最大值，求A和b．

Answer 1

分析：（1）由兩向量的坐標，利用平面向量的數量積運算法則列出f（x）解析式，利用二倍角的正弦、余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根據x的范圍，求出這個角的范圍，利用正弦函數的性質求出f（x）的最大值，以及此時x的值，由f（A）為最大值求出A的度數，利用余弦定理求出b的值即可．

解答：解：（1）∵向量

m

=（sinx，-1），向量

n

=（

3

cosx，-

1

2

），
∴f（x）=（

m

+

n

）•

m

=sin²x+1+

3

sinxcosx+

1

2

=

1-cos2x

2

+1+

3

2

sin2x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2=sin（2x-

π

6

）+2，
∵ω=2，
∴函數f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由（1）知：f（x）=sin（2x-

π

6

）+2，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴-

π

6

≤2x-

π

6

≤

5π

6

，
∴當2x-

π

6

=

π

2

時，f（x）取得最大值3，此時x=

π

3

，
∴由f（A）=3得：A=

π

3

，
由余弦定理，得a²=b²+c²-2bccosA，
∴12=b²+16-4b，即（b-2）²=0，
∴b=2．

點評：此題考查了余弦定理，平面向量的數量積運算，兩角和與差的正弦函數公式，以及三角函數的周期性及其求法，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．