Question

設F₁、F₂分別是橢圓的左、右焦點，P為橢圓上的任意一點，滿足|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周長為12．
（1）求橢圓的方程；
（2）求的最大值和最小值；
（3）已知點A（8，0），B（2，0），是否存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D．使得|BC|=|BD|？若存在，求直線l的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題設，2a=8，2a+2c=12，∴a=4，c=2，∴b²=a²-c²=12，∴橢圓的方程為；
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），設P（x，y），則=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=
∵x∈[-4，4]，∴x²∈[0，16]，∴
當且僅當點P為短軸端點時，有最小值8；點P為長軸端點時，有最大值12．
（3）當直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓無交點，所以直線l的斜率存在，不妨設為k，則直線l的方程為y=k（x-8）
由方程組，消元得（4k²+3）x²-64k²x+16（16k²-3）=0
∵過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，
∴△=64²k⁴-64（4k²+3）（16k²-3）＞0
∴
設交點C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），CD的中點為T（x₀，y₀）
∴x₁+x₂=，，
∴T（）
∵|BC|=|BD|，∴BT⊥CD
∵
∴，方程無解
∴不存在過點A的直線l與橢圓交于不同的兩點C，D，使得|BC|=|BD|．
分析：（1）利用|PF₁|+|PF₂|=8，△PF₁F₂的周長為12，可得2a=8，2a+2c=12，從而可求橢圓的方程；
（2）由（1）知F₁（-2，0），F₂（2，0），設P（x，y），則=（-2-x，-y）•（2-x，-y）=x²+y²-4=，根據x∈[-4，4]，可得x²∈[0，16]，從而可求的最大值和最小值；
（3）直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x-8），與橢圓方程聯立，消元得一元二次方程，從而可求CD的中點的坐標，利用|BC|=|BD|，可得BT⊥CD，從而可建立方程，故可解．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓的位置關系，考查探究性問題，通常假設存在，從而問題得解．