Question

某服裝廠生產一種服裝，每件服裝的成本為40元，出廠單價定為60元．該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當一次訂購量超過100件時，每多訂購一件，訂購的全部服裝的出廠單價就降低0.02元．根據市場調查，銷售商一次訂購量不會超過500件．
（I）設一次訂購量為x件，服裝的實際出廠單價為P元，寫出函數P=f（x）的表達式；
（Ⅱ）當銷售商一次訂購了450件服裝時，該服裝廠獲得的利潤是多少元？
（服裝廠售出一件服裝的利潤=實際出廠單價-成本）

Answer 1

分析：（I）服裝的實際出廠單價為P，應按x≤100和x＞100兩類分別計算，故函數P=f（x）應為分段函數；
（II）由（I）可求出銷售商一次訂購了450件服裝時的出廠價P，450（P-40）即為所求；
也可列出當銷售商一次訂購x件服裝時，該服裝廠獲得的利潤函數，再求x=450時的函數值．

解答：解：（I）當0＜x≤100時，P=60
當100＜x≤500時，P=60-0.02(x-100)=62-

x

50

所以P=f(x)=

60 ，0＜x≤100 62- x 50 ，100＜x≤500

(x∈N)
（II）設銷售商的一次訂購量為x件時，工廠獲得的利潤為L元，
則L=(P-40)x=

20x ，0＜x≤100 22x- x2 50 ，100＜x≤500(x∈N)

此函數在[0，500]上是增函數，故當x=500時，函數取到最大值
因此，當銷售商一次訂購了450件服裝時，該廠獲利的利潤是5850元．

點評：本小題主要考查函數的基本知識，考查應用數學知識分析問題和解決問題的能力．