Question

命題p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一負根．命題q：函數y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸有公共點．若命題“p或q”為真命題，而命題“p且q”為假命題，則實數a的取值范圍是    

Answer 1

【答案】分析：根據命題“p或q”為真命題，而命題“p且q”為假命題，我們易判斷命題p與命題q一真一假，再由命題p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一負根．命題q：函數y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸有公共點．我們根據二次方程根與系數的關系（韋達定理）及二次函數零點個數的判斷方法，得到命題p與命題q對應的參數a的取值范圍，分類討論后，即可得到答案．
解答：解：由命題p：方程x²-x+a²-6a=0有一正根和一負根．
結合韋達定理，我們易得：
x₁x₂=a²-6a＜0
0＜a＜6；
由命題q：函數y=x²+（a-3）x+1的圖象與x軸有公共點．
即方程x²+（a-3）x+1=0有實數根，可得：
△=（a-3）²-4≥0，
∴a≥5或a≤1；
又∵命題“p或q”為真命題，而命題“p且q”為假命題，
∴命題p與命題q一真一假，
當命題p真且命題q假時，a∈（1，5）；
當命題q真且命題p假時，a∈（-∞，0]∪[6，+∞），
綜上所述：a∈（-∞，0]∪（1，5）∪[6，+∞）
故答案為：a∈（-∞，0]∪（1，5）∪[6，+∞）
點評：掌握簡易邏輯的有關知識，學會數形結合的數學思想，理解二次方程與二次函數之間的關系，一元二次方程有一正根和一負根的充要條件是二次函數的圖象與y軸相交于負半軸；而二次函數的圖象與x軸有公共點的充要條件是二次方程有根，即△≥0．