Question

設函數是單調減函數，值域為[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
（1）求實數a的取值范圍；
（2）求證：2＜m＜4＜n；
（3）若函數的最大值為A，求證：0＜A＜1．

Answer 1

【答案】分析：（1）充分利用函數與方程的思想，利用函數的單調性和最值將問題轉化為方程在某區間上有解，從而得到參數a的范圍．
（2）利用二次函數根的分布規律獲得參數m、n的分布情況，從而得到對應的不等關系．
（3）利用導數判斷單調性的知識從函數單調性入手得到A的取值范圍．
解答：解：（1）由題意，得

不相等的實根，
即m，n是關于x的方程ax²+（a-1）x+2（1-a）=0在區間（2，+∞）內的兩個
不相等的實根，

，
且y＞0，結合函數y=log_ax在區間（0，+∞）內是單調減函數，
，
值域為[1+log_a（n-1），1+log_a（m-1）]．
故實數a的取值范圍是區間（8分）
（2）令h（x）=ax²+（a-1）x+2（1-a）
．由于h（2）=4a+2（a-1）+2（1-a）=4a＞0，
h（4）=16a+4（a-1）+2（1-a）=18a-2＜0，
所以2＜m＜4＜n．（12分）
（3）因為函數，所以，當x＞2時，
，
因為lna＜0，所以當x∈[m，4）時，g'（x）＞0，即g（x）在區間[m，4]上是單調增函數；
當x∈（4，+∞）時，g'（x）＜0，即g（x）在區間[4，n]上是單調減函數；

，
所以0＜A＜1．（16分）
點評：本題充分考查了對數函數的單調性、對是函數的值域與最值以及導數知識的綜合應用．在題中函數與方程的思想、分類討論的思想、轉化的思想、數形結合的思想都得到了深入的考查．