Question

某市四所中學報名參加某高校今年自主招生的學生人數如下表所示：

中學
人數

為了了解參加考試的學生的學習狀況，該高校采用分層抽樣的方法從報名參加考試的四所中學的學生當中隨機抽取50名參加問卷調查.
（1）問四所中學各抽取多少名學生？
（2）從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生自同一所中學的概率；
（3）在參加問卷調查的名學生中，從自兩所中學的學生當中隨機抽取兩名學
生，用表示抽得中學的學生人數，求的分布列和期望.

Answer 1

（1） 從四所中學抽取的學生人數分別為；（2） 這兩名學生自同一所中學的概率為，（3）的分布列為：

		1

 
.

解析試題分析：（1） 由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總人數為100名，抽取的樣本容量與總體個數的比值為．據此即可計算出答案；（2） 利用組合的意義分別計算出從參加問卷調查的50名學生中隨機抽取兩名學生的方法和這兩名學生來自同一所中學的取法，再利用古典概型的概率計算公式即可得出；（3）由（1） 知，在參加問卷調查的50名學生中，來自A，C兩所中學的學生人數分別為15，10．可得ξ的可能取值為0，1，2．利用超幾何分布的概率計算公式，即可得到分布列，利用數學期望的概率計算公式即可得出．
試題解析：（1） 由題意知，四所中學報名參加該高校今年自主招生的學生總人數為100名，
抽取的樣本容量與總體個數的比值為.
∴應從四所中學抽取的學生人數分別為.       4分
（2） （2） 設“從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生自同一所中學”為事件，從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生隨機抽取兩名學生的取法有種，這兩名學生來自同一所中學的取法有，所以．從參加問卷調查的名學生中隨機抽取兩名學生，求這兩名學生自同一所中學的概率；     ７分
（3）由（1）知，在參加問卷調查的名學生中，自兩所中學的學生人數分別
為.
依題意得，的可能取值為，                                8分
， ，.    11分
∴的分布列為：

		1

     12分
考點：離散型隨機變量及其分布列；等可能事件的概率．