Question

已知函數f（x）滿足f(logax)=

a

1-a2

(x-x-1)，其中a＞0且a≠1．
（1）對于函數f（x），當x∈（-1，1）時，f（1-m）+f（1-m²）＜0，求實數m的取值集合；
（2）當x∈（-∞，2）時，f（x）+3＞0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）令log_ax=t，則x=a^t，
∴f(x)=

a

1-a2

(at-a-t)…（2分）
∴f(x)=

a

1-a2

(ax-a-x)∴f(-x)=

a

1-a2

(a-x-ax)=-

a

1-a2

(ax-a-x)=-f(x)
即y=f（x）為奇函數------…（2分）
∵f′(x)=

a

1-a2

(ax+a-x)lnaa＞1時  

a

1-a2

＜0，lna＞0
∴f'（x）＜0∴f（x）為定義域上減函數0＜a＜1時∴x＜2，f(x)＞f(2)=

a

1-a2

(a2-a-2)
∴f'（x）＜0∴f（x）為定義域上減函數
綜上f（x）為定義域上減函數…（2分）
∵f（1-m）+f（1-m²）＜0∴f（1-m）＜-f（1-m²）∴奇函數∴f（1-m）＜f（m²-1）
∵減函數∴

1-m＞m2-1 -1＜1-m＜1 -1＜m2-1＜1

∴0＜m＜1…（2分）
（2）∵y=f（x）為減函數∴x＜2，f(x)＞f(2)=

a

1-a2

(a2-a-2)…（2分）
若f（x）+3＞0恒成立，即f（2）+3＞0

a

1-a2

•

a4-1

a2

+3=

-(a2+1)

a

+3≥0…（1分）
∴

3- 5

2

≤a≤

3+ 5

2

，a≠1…（1分）