Question

【題目】已知函數在（為自然對數的底）時取得極值且有兩個零點．

（1）求實數的取值范圍；

（2）記函數的兩個零點為，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

試題分析：（1） 在時取得極值,由的符號及函數的單調性可知為函數的極大值，所以有兩個零點等價于 ，解之即可；（2） 不妨設，由題意知，兩式相加可得即，欲證，只需證明：，只需證明：，即證即可，設，則只需證明：,構造函數，證即可.

試題解析： （1），

由，且當時，，當時，，

所以在時取得極值，所以，

所以，函數在上遞增，在上遞減，，

時，時，有兩個零點，

故；．

（2）不妨設，由題意知，

則，

欲證，只需證明：，只需證明：，

即證：，

即證，設，則只需證明：，

也就是證明：，

記，∴，

∴在單調遞增，

∴，所以原不等式成立，故得證．