Question

設數列{a_n}的前n項和S_n，且（3-m）S_n+2ma_n=m+3（n∈N^*）．其中m為常數，且m≠-3，m≠0．
（Ⅰ）求證{a_n}是等比數列，并寫出它的通項公式；
（Ⅱ）若數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足b1=a1，bn=

3

2

f(bn-1)(n∈N，n≥2)，求b_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，兩式相減得（3+m）a_n+1=2ma_n，易證{a_n}是等比數列，并寫出它的通項公式．
（Ⅱ）b₁=a₁=1，q=f(m)=

2m

m+3

，n∈N且n≥2時，bn=

3

2

f(bn-1)=

3

2

•

2bn-1

bn-1+3

，bnbn-1+3bn=3bn-1，

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

，通過數列{

1

bn

}的通項求出b_n．

解答：（本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）由（3-m）S_n+2ma_n=m+3得（3-m）S_n+1+2ma_n+1=m+3，兩式相減得（3+m）a_n+1=2ma_n…（3分）m≠0且m≠-3，
∴

an+1

an

=

2m

m+3

，
∴{a_n}是等比數列 …（6分）
又a₁=1，∴an=(

2m

m+3

)n-1…（6分）
（Ⅱ）b₁=a₁=1，q=f(m)=

2m

m+3

，∴n∈N且n≥2時，bn=

3

2

f(bn-1)=

3

2

•

2bn-1

bn-1+3

，bnbn-1+3bn=3bn-1，

1

bn

-

1

bn-1

=

1

3

…（9分）
∴{

1

bn

}是1為首項

1

3

為公差的等差數列
∴

1

bn

=1+

n-1

3

=

n+2

3

，∴bn=

3

n+2

…（12分）

點評：本題考查數列性質的判斷，通項公式求解．考查轉化構造，運算求解能力．