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已知函數f(x)在定義域R上可導，設點P是函數y＝f(x)的圖象上距離原點O最近的點．

(1)若點P的坐標為(a，f(a))，求證：a＋f(a)(a)＝0；

(2)若函數y＝f(x)的圖象不通過坐標原點O，證明直線OP與函數y＝f(x)的圖象上過P點的切線互相垂直．

答案：
解析：

　　(1)設Q(x，)為上的動點，則．

　　設，則

　　已知P是函數的圖象上距離原點O最近的一點，

　　為F(x)的最小值，即F(x)在處有最小值，即，可得；

　　(2)線段OP的斜率為的圖形上過P點的切線l的斜率為，由(1)知，因為圖象不過原點，∴a≠0，得到．

　　∴OP⊥l，即直線OP與函數的圖象上過P點的切線垂直．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=ax+
bx-1
-a(a∈R，a≠0)在x=3處的切線方程為（2a-1）x-2y+3=0
（1）若g（x）=f（x+1），求證：曲線g（x）上的任意一點處的切線與直線x=0和直線y=ax圍成的三角形面積為定值；
（2）若f（3）=3，是否存在實數m，k，使得f（x）+f（m-x）=k對于定義域內的任意x都成立；

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=ax-
b
x
-2lnx，f(1)=0．
（1）若函數f（x）在其定域義內為單調函數，求實數a的取值范圍；
（2）若函數f（x）的圖象在x=1處的切線的斜率為0，且an+1=f′(
1
an+1
)-nan+1．
①若a1≥3，求證：an≥n+2；
②若a1=4，試比較
1
1+a1
+
1
1+a2
+…+
1
1+an
與
2
5
的大小，并說明你的理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=log3
3
x
1-x
，M(x1，y1)，N(x2，y2)是f（x）圖象上的兩點，橫坐標為
1
2
的點P是M，N的中點．
（1）求證：y1+y2為定值；
（2）若Sn=f(
1
n
)+f(
2
n
)+…+f(
n-1
n
)（n∈N*，n≥2），求
lim
n→∞
4Sn-9Sn
4Sn+1+9Sn+1
的值；
（3）在（2）的條件下，若an=
1
6
，n=1
1
4(Sn+1)(Sn+1+1)
，n≥2
（n∈N*），Tn為數列{an}的前n項和，若Tn＜m（Sn+1+1）對一切n∈N*都成立，試求實數m的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（06年浙江卷理）（14分）

已知函數f(x)=x+ x，數列｜x｜(x＞0)的第一項x＝1，以后各項按如下方式取定：曲線x=f(x)在處的切線與經過（0，0）和（x,f (x)）兩點的直線平行（如圖）

.

求證：當n時，

  (Ⅰ)x 

（Ⅱ）

 

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f(x)=x3+x2，數列{xn}(xn＞0)的第一項x1=1，以后各項按如下方式取定：曲線y=f(x)在(xn+1,f(xn+1))處的切線與經過(0,0)和(xn，f(xn))兩點的直線平行(如圖).求證：當n∈N*時，

(1)+xn=3+2xn+1；

(2)()n-1≤xn≤()n-2.

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同步練習冊答案
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