Question

18．已知冪函數$f（x）={x^{{m^2}-2m-3}}（m∈Z）$為偶函數，且在區間（0，+∞）上減函數，則m的值為（　　）

• A． -1＜m＜3
• B． 1
• C． 1或2
• D． 0或1或2

Answer 1

分析 根據冪函數的奇偶性和單調性的性質進行求解即可．

解答 解：∵冪函數$f（x）={x^{{m^2}-2m-3}}（m∈Z）$在區間（0，+∞）上減函數，
∴m²-2m-3＜0，得-1＜m＜3，
∵m∈Z，∴m=0，1，2，
若m=0，則函數f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$為奇函數，不滿足條件．
若m=1，則函數f（x）=x^-4=$\frac{1}{{x}^{4}}$為偶函數，滿足條件．
若m=2，則函數f（x）=x^-3=$\frac{1}{{x}^{3}}$為奇函數，不滿足條件．
故m=1，
故選：B

點評 本題主要考查冪函數的應用，根據冪函數的單調性和奇偶性的性質建立不等式關系和方程關系是解決本題的關鍵．