Question

已知函數f（x）=a（x-

1

x

）-2lnx．（a∈R）
（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程是2x-y+b=0，求a，b的值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥0在[1，+∞）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線斜率為f′（1）=2，利用直線的點斜式方程可求a，b
（Ⅱ）對a進行分類討論，探討出f（x）在[1，+∞）上的增減性，通過與特殊值、極值的比較作出解答．

解答：解：（Ⅰ）函數f（x）的定義域是{x|x＞0}．f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，∵f（1）=0，∴切點為（1，0），帶入切線方程2x-y+b=0得出b=-2
又f′（1）=2a-2=2，解得a=2
（Ⅱ）f′（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

，（x≥1）
（1）當a≤0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減，又f（1）=0，所以f（x）≤0，其與條件f（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，故舍去．
 （2）當0＜a＜1時，f'（x）=a（1+

1

x2

）-

2

x

=

ax2-2x+a

x2

在[1，

1

a

）上滿足f'（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減，又f（1）=0，所以f（x）≤0，其與條件f（x）≥0在[1，+∞）恒成立矛盾，故舍去．
（3）當a≥1時，a（1+

1

x2

）≥1+

1

x2

≥

2

x

，f'（x）≥0，此時函數f（x）單調遞增，又f（1）=0，所以f（x）≥0．
故實數a的取值范圍是a≥1．…（12分）

點評：本題考查會利用導數的幾何意義求切線方程，函數的單調性，理解函數恒成立時所取的條件，數形結合的思想方法．