Question

已知函數，
（Ⅰ）若a＞0，，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）若x∈[0，2π）時，f（x）的圖象與x軸有四個不同的交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）函數
=asin²x+（3-a）sinx-2a+6
令sinx=t，則有t∈[0，1]，
所以y=at²+（3-a）t-2a+6，t∈[0，1]，
對稱軸t=
當0＜a＜3時，y=at²+（3-a）t-2a+6在[0，1]遞增，
所以當t=0時，函數最小值為-2a+6；
當a≥3時，t=∈[0，1]，，所以當t=函數有最小值
總之，函數的最小值為
當0＜a＜3時，最小值為-2a+6；
當a≥3時，最小值．
（II）因為x∈[0，2π）時，f（x）的圖象與x軸有四個不同的交點，
等價于y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有兩個不同的解，
所以，
解得．
分析：（I）利用二倍角公式將f（x）化為asin²x+（3-a）sinx-2a+6，通過換元轉化為二次函數的最值問題，通過討論對稱軸與區間的位置關系，求出時f（x）的最小值；
（II）將已知條件轉化為y=at²+（3-a）t-2a+6在[-1，1]有兩個不同的解，結合二次函數的圖象，列出a滿足的不等式，解不等式求出a的范圍．
點評：解決二次函數的最值問題，應該判斷出對稱軸與所在區間的相對位置關系，進一步判斷出函數的單調性，求出函數的最值；解決二次方程的實根分布問題，應該畫出相應的二次函數的圖象，從對稱軸、開口方向、區間端點函數值的符號三個方面，結合圖象寫出限制條件．