Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）以橢圓的右焦點為焦點F．
（1）求拋物線方程．
（2）過F做直線L與拋物線交于C，D兩點，已知線段CD的中點M橫坐標3，求弦|CD|的長度．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出橢圓的右焦點坐標，知，從而可求得拋物線的標準方程；
（2）由于直線過焦點，先利用中點的坐標公式求出x₁+x₂，利用弦長公式x₁+x₂+p求出CD的長．
解答：解：（1）橢圓的右焦點（1，0），
由題意知
∴p=2．…（2分）
拋物線的標準方程為y²=4x；
（2）：因為拋物線為y²=4x，
所以p=2
設C、D兩點橫坐標分別為x₁，x₂，
因為線段CD中點的橫坐標為3，
則，即x₁+x₂=6，
故|CD|=x₁+x₂+p=6+2=8．
點評：本題是直線被圓錐曲線所截，求弦長問題，一般可以由公式：|AB|═求得；線段中點坐標通常與根與系數的關系相聯系，從而簡化解題過程．但對于過焦點的弦長注意圓錐曲線定義的應用．