Question

設函數y=f（x），對于任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）成立，且當x＞0時f（x）＜0，f(1)=-

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求：
（1）f（0）的值．          
（2）求證：f（x）為R上的奇函數．
（3）求證：f（x）為R上的單調減函數．
（4）f（x）在[-3，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）令x=0，由f（0+y）=f（0）+f（y）得f（0）=0
（2）由（1）中f（0）=0，可得f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0，根據奇函數的定義可得結論．
（3）令x＞y，由已知可得f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y），結合x＞0時f（x）＜0，結合函數單調性的定義可得結論
（4）由（3）中函數的單調性可確定f（x）在[-3，3]上的最大值點，結合f(1)=-

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可得答案．

解答：解：（1）因為f（x+y）=f（x）+f（y）
令x=0
則f（0+y）=f（0）+f（y）
得f（0）=0
（2）因為f（x+y）=f（x）+f（y）且f（0）=0
所以f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0）=0
又因為x是任意實數
所以f（x）為R上的奇函數
（3）令x＞y
則f（x）-f（y）=f（x）+f（-y）=f（x-y）
因為x＞y
所以x-y＞0
所以f（x-y）=f（x）-f（y）＜0
所以f（x）為R上的單調減函數
（4）由（3）知f（x）在[-3，3]上的最大值為f（-3）
f（-3）=f（-1）+f（-2）=f（-1）+f（-1）+f（-1）=-f（1）-f（1）-f（1）=2
f（x）在[-3，3]上的最小值為f（3）
f（3）=f（1）+f（2）=f（1）+f（1）+f（1）=-2．

點評：本題又抽象函數為載體考查了函數求值，函數的奇偶性，函數的單調性和函數的最值，熟練掌握函數奇偶性和單調性的定義是解答的關鍵．