Question

8、設f（x）是定義在R上的函數，且對任意實數x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y）．求證：
（1）f（x）是奇函數；
（2）若當x＞0時，有f（x）＞0，則f（x）在R上是增函數．

Answer 1

分析：（1）判斷f（x）奇偶性，即找出f（-x）與f（x）之間的關系，∴令y=-x，有f（0）=f（x）+f（-x），故問題轉化為求f（0）即可，可對x、y都賦值為0；
（2）依據函數單調性的定義判斷函數的單調性，充分利用條件當x＞0時，有f（x）＞0與f（x+y）=f（x）+f（y），即可判定單調性．

解答：解：（1）顯然f（x）的定義域是R，關于原點對稱．
又∵函數對一切x、y都有f（x+y）=f（x）+f（y），
∴令x=y=0，得f（0）=2f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x），
∴f（-x）=-f（x），
∴f（x）為奇函數．
（2）任取x₁＜x₂，x₂-x₁＞0，則f（x₂-x₁）＞0
∴f（x₂）+f（-x₁）＞0；
對f（x+y）=f（x）+f（y）取x=y=0得：f（0）=0，
再取y=-x得f（x）+f（-x）=0即f（-x）=-f（x），
∴有f（x₂）-f（x₁）＞0
∴f（x₂）＞f（x₁）
∴f（x）在R上遞增．

點評：本題考點是抽象函數及其性質，在研究其奇偶性時本題采取了連續賦值的技巧，這是判斷抽象函數性質時常用的一種探究的方式，屬于中檔題．