Question

四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AB // CD, AD =CD=1，,，.

（I）求證: 平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求點到平面的距離.

Answer 1

解法一：（１）證明： PA⊥底面ABCD,

平面ABCD,，

∠=，.

又，∴ 平面

 (2)  AB // CD,

∵.∠ADC=60⁰,又AD =CD=1,

為等邊三角形,且 AC=1.

取的中點，則，

 PA⊥底面ABCD，平面

過作，垂足為，連，由三垂線定理知.

為二面角的平面角.由.

.

二面角的大小為.  

(3)設點到平面的距離的距離為.

AB // CD,平面平面,平面.

∴點到平面的距離等于點到平面的距離.  

 .     

解法二

(1)    同解法一; 

(2)    取的中點，則.

又PA⊥底面ABCD,面,

建立空間直角坐標系，如圖.則

，

 

設為平面的一個法向量，

為平面的一個法向量，則

，可取；

，可取. 

故所求二面角的大小為.      

(3)    又.  

由（Ⅱ）取平面的一個法向量,

點到平面的距離的距離為：