Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分別是線段PA、CD的中點．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α的正切；
（Ⅲ）求異面直線EF與BD所成的角β的余弦．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據兩個平面垂直的性質定理可得 PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接AF，則∠AFE即為α．直角三角形EAF中，根據tanα=

AE

AF

運算求得結果．
（Ⅲ）建立空間坐標系，求得得A、B、D、F、E的坐標，可得，

EF

和

BD

的坐標，求得 cosβ=

EF • BD

| EF |•| BD |

的值，可得異面直線EF與BD所成的角的余弦值．

解答：解：（Ⅰ）證明：由于平面PAD⊥平面ABCD，且AD是平面ABCD和平面PAD的交線，
PA在平面PAD內，∠PAD=90°，
根據兩個平面垂直的性質定理可得 PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接AF，則∠AFE即為α．
直角三角形EAF中，tanα=

AE

AF

=

1 2

1+ 1 4

=

5

5

．
（Ⅲ）設正方形的邊長為2，以A為原點，以AB所在直線為x軸，以AD所在的直線為y軸，
以AP所在的直線為z軸，建立空間坐標系，
可得A（0，0，0）、B（2，0，0）、D（0，2，0）、F（1，2，0）、E（0，0，1），
∴

EF

=（1，2，-1）、

BD

=（-2，2，0），∴cosβ=

EF • BD

| EF |•| BD |

=

-2+4+0

6 • 8

=

3

6

，
故異面直線EF與BD所成的角的余弦為

3

6

．

點評：本題主要考查直線和平面垂直的判定定理的應用，求直線和平面成的角、異面直線成的角的方法，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．