Question

(本題滿分12分)

已知二次函數和“偽二次函數” （、、），

（I）證明：只要，無論取何值，函數在定義域內不可能總為增函數；

（II）在二次函數圖象上任意取不同兩點，線段中點的橫坐標為，記直線的斜率為，

（i）求證：；

（ii）對于“偽二次函數”，是否有（i）同樣的性質?證明你的結論.

Answer 1

解：（I）如果為增函數,

則(1)恒成立, 

 當時恒成立, (2) 由二次函數的性質, (2)不可能恒成立.

則函數不可能總為增函數.   --------3分

（II）（i） =.     

       由,  則--------5分

（ii）不妨設,對于“偽二次函數”:

 =,       (3)            --------7分

由(ⅰ)中(1),如果有(ⅰ)的性質，則 , (4)

 比較(3)( 4)兩式得，

即：，(4)                  --------10分

不妨令，    (5)

設，則，

∴在上遞增，  ∴.

  ∴ (5)式不可能成立,（4）式不可能成立,.          

  ∴“偽二次函數”不具有(ⅰ)的性質. -------12分