Question

設向量

i

，

j

，

k

是不共面的三個向量，則下列各組向量不能作為空間向量基底的是（　　）

• A．

  p

  =

  i

  -2

  j

  +

  k

  ，

  q

  =-

  i

  +3

  j

  +2

  k

  ，

  r

  =-3

  i

  +7

  j

• B．

  p

  =

  i

  +

  j

  -

  k

  ，

  q

  =2

  i

  +3

  j

  -5

  k

  ，

  q

  =-7

  i

  +18

  j

  +22

  k

• C．

  p

  =

  i

  +

  j

  ，

  q

  =

  i

  +

  k

  ，

  r

  =

  j

  +

  k

• D．

  p

  =

  i

  +

  j

  ，

  q

  =

  i

  -

  j

  ，

  r

  =

  k

Answer 1

分析：不能作為空間向量基底的三個向量共面，即可判斷出．

解答：解：A．令a

p

+b

q

+c

r

=

0

，∴a（1，-2，1）+b（-1，3，2）+c（-3，7，0）=（0，0，0），可得

a-b-3c=0 -2a+3b+7c=0 a+2b=0

，消去a化為b+c=0，令b=-1，則c=1，a=2．
∴存在一組非0常數a=2，b=-1，c=1使得a

p

+b

q

+c

r

=

0

，
故

p

，

q

，

r

是共面的三個向量，故不能作為空間向量的基底．
B．令a

p

+b

q

+c

r

=

0

，即a（1，1，-1）+b（2，3，-5）+c（-7，18，22）=（0，0，0）．
可得

a+2b-7c=0 a+3b+18c=0 -a-5b+22c=0

，解得a=b=c=0．
故

p

，

q

，

r

是三個不共面的三個向量，可以作為空間向量的基底．
同理C，D可以作為空間向量的基底．
綜上可知：只有A不能作為基底．
故選A．

點評：正確理解基底的含義和判斷方法是解題的關鍵．