Question

已知函數f(x)=2lnx-x²，
（1）若方程f(x)+m=0在[，e]內兩個不等的實根時，求實數m的取值范圍；
（2）如果g(x)=f(x)-ax的圖像與x軸交于兩點A(x₁，0)，B(x₂，0)，且0＜x₁＜x₂，求證：g′(px₁+qx₂)＜0， （其中p，q是正常數，p+q=1，p≤q）。

Answer 1

解：（1），
，
∴當x∈時，f′(x)＞0，f(x)在為增函數，
當x∈(1，e)時，f′(x)＜0，f(x)在(1，e)為減函數，
∴當x=1時，f(x)有極大值，也為最大值，f(1)=-1，
又，，
∴，∴。
（2），
又f(x)-ax=0有兩個不等的實根，則，
兩式相減得，

∵p+q=1，p≤q ，∴2p≤1，
又，
∴，
要證，
只需證：，
只需證：，
令，只需證在（0，1）上恒成立，
又，
，
∴t＜1，故u′(t)＞0，所以u(t)在（0，1）上單調遞增，則u(t)＜u(1)=0，
，
從而，從而原不等式得證。