Question

某高校在2010年的自主招生考試中隨機抽取了100名學生的筆試成績，按成績分組：第一組[160，165），第二組[165，170），第三組[170，175），第四組[175，180），第五組[180，185）得到的頻率分布直方圖如圖所示，
（1）求第三、四、五組的頻率；
（2）為了以選拔出最優秀的學生，學校決定在筆試成績高的第三、四、五組中用分層抽樣抽取6名學生進入第二輪面試，求第三、四、五組每組各抽取多少名學生進入第二輪面試．
（3）在（2）的前提下，學校決定在這6名學生中隨機抽取2名學生接受甲考官的面試，求第四組至少有一名學生被甲考官面試的概率．

Answer 1

分析：（1）利用頻率分布直方圖中的頻率=縱坐標×組據，求出第三、四、五組的頻率；
（2）利用頻數=頻率×樣本容量求出各組的人數；求出各組人數與樣本容量的比，再乘以6求出各組抽出的人數．
（3）通過列舉法得到從6名學生中抽2名所有的結果及第四組至少有一名學生被甲考官面試的結果；利用古典概型概率公式求出概率．

解答：解：（1）由題設可知，第三組的頻率為0.06×5=0.3
第四組的頻率為0.04×5=0.2
第五組的頻率為0.02×5=0．
（2）第三組的人數為0.3×100=30
第四組的人數為0.2×100=20
第五組的人數為0.1×100=10
因為第三、四、五組共有60名學生，所以利用分層抽樣在60名學生中抽取6名學生，每組抽到的人數分別為：第三組

30

60

×6=3
第四組

20

60

×6=2
第五組

10

60

×6=1
所以第三、四、五組分別抽取3人，2人，1人．
（3）設第三組的3位同學為A₁，A₂，A₃，第四組的2位同學為B₁，B₂，
第五組的1位同學為C₁
則從6位同學中抽2位同學有：（A₁，A₂），（A₁，A₃），（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₁，C₁），（A₂，A₃），（A₂，B₁），（A₂，B₂）（A₂，C₁），（A₃，B₁），（A₃，B₂），（A₃，C₁），（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共15種可能
其中第四組的2位同學B₁，B₂中至少1位同學入選有（A₁，B₁），（A₁，B₂），（A₂，B₁），（A₂，B₂），（A₃，B₁），（A₃，B₂）（B₁，B₂），（B₁，C₁），（B₂，C₁）共9種可能
所以第四組至少有1位同學被甲考官面試的概率為

9

15

=

3

5

點評：本題考查頻率分布直方圖中頻率的公式是：頻率=縱坐標×組據； 頻數的公式：頻數=頻率×樣本容量
考查分層抽樣及古典概型的概率公式．