Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=

π

3

，AD=1，BC=2，P是腰AB所在直線上的動點，則|3

PC

+2

PD

|的最小值為

4

3

．

Answer 1

分析：根據題意不妨設A（1，

3

），P（t，

3

t），B（0，0），C（2，0），D（2，

3

），然后求出3

PC

+2

PD

，最后根據模的公式求出關于t的表達式，根據二次函數的性質求出最值即可．

解答：解：根據題意不妨設A（1，

3

），P（t，

3

t）
則B（0，0），C（2，0），D（2，

3

）
∴

PC

=（2-t，-

3

t），

PD

=（2-t，

3

-

3

t）
∴3

PC

+2

PD

=（10-5t，2

3

-5

3

t）
∴|3

PC

+2

PD

|²=（10-5t）²+（2

3

-5

3

t）²=4（25t²-40t+28）
當t=

4

5

時，|3

PC

+2

PD

|取最小值為4

3

故答案為：4

3

點評：本題主要考查了平面向量數量積的運算，以及利用坐標法求解向量的模，同時考查了運算求解的能力，屬于中檔題．