Question

四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為矩形，平面SDC⊥底面ABCD，AD=，DC=SD=2，，點M是側棱SC的中點．
（Ⅰ）求證：SD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角C-AM-B的大小．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）欲證SD⊥平面ABCD，可根據面面垂直的性質可知只需證明平面SDC⊥底面ABCD，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，滿足面面垂直的判定定理的條件；
（Ⅱ）以D為坐標原點，以DA為x軸，DC為y軸，DS為z軸，建系D-xyz，然后求出平面CAM的一個法向量和平面AMB的一個法向量，求出兩法向量所成角即為二面角C-AM-B的平面角．
解答：證明：（Ⅰ）因為DC=SD=2，，由勾股定理的逆定理知，SD⊥DC，又平面SDC⊥底面ABCD于DC，SD?平面SDC，
所以，SD⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知，SD⊥DCSD⊥AD，又AD⊥DC，建系D-xyz．
于是，，C（0，2，0），S（0，0，2），M（0，1，1），，，
設為平面CAM的一個法向量，
則，得
又，設為平面AMB的一個法向量，
則，得
因為，所以二面角C-AM-B為：
點評：本題主要考查了線面垂直的判定，以及二面角及其平面角等有關知識，考查空間想象能力和思維能力，應用向量知識解決立體幾何問題的能力．