Question

已知函數f（x）=ax+b

1+x2

（x≥0）的圖象經過兩點A（0，1）和B（

3

，2-

3

）．
（I）求f（x）的表達式及值域；
（II）給出兩個命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：log₂（m-1）＜1．問是否存在實數m，使得復合命題“p且q”為真命題？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）利用函數圖象經過的點，列出方程組，求出a，b的值，即可求得f（x）的表達式，利用函數的變形與函數的單調性求解函數的值域；
（II）通過函數的單調性求出命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）中m的范圍；利用對數的基本性質求出命題q：log₂（m-1）＜1．中m是范圍，利用復合命題“p且q”為真命題，求出m的取值范圍；

解答：解：（1）由題意知

f(0)=b=1 f( 3 )=a 3 +2b=2- 3

，解得

a=-1 b=1

，
故f(x)=

1+x2

-x，
由于f(x)=

1+x2

-x=

1

1+x2+x

在[0，+∞）上遞減，所以f（x）的值域為（0，1]．
（2）復合命題“p且q”為真命題，即p，q同為真命題．因為f（x）在[0，+∞）上遞減，
故p真?m²-m＞3m-4≥0?m≥

4

3

且m≠2；
q真?0＜m-1＜2?1＜m＜3，
故存在m∈[

4

3

，2)∪(2，3)滿足復合命題p且q為真命題．

點評：本題考查復合函數的單調性與復合命題的真假的判斷，函數解析式的求法，考查計算能力．