Question

（本題滿分18分）本題共有3個小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小題滿分8分

已知拋物線方程為．

（1）若點在拋物線上，求拋物線的焦點的坐標和準線的方程；

（2）在（1）的條件下，若過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點，點在拋物線的準線上，直線、、的斜率分別記為、、，求證：、、成等差數列；

（3）對（2）中的結論加以推廣，使得（2）中的結論成為推廣后命題的特例，請寫出推廣命題，并給予證明.

說明：第（3）題將根據結論的一般性程度給予不同的評分.

Answer 1

（本題18分，其中第（1）小題4分，第（2）小題6分，第（3）小題8分）

已知拋物線方程為

（1）若點在拋物線上，求拋物線的焦點的坐標和準線的方程；

（2）在（1）的條件下，若過焦點且傾斜角為的直線交拋物線于、兩點，點在拋物線的準線上，直線、、的斜率分別記為、、，求證：、、成等差數列；

（3）對（2）中的結論加以推廣，使得（2）中的結論成為推廣后命題的特例，請寫出推廣命題，并結予證明.

說明：第（3）題將根據結論的一般性程度給予不同的評分.

解：

（1）   ∵在拋物線上，  由   得……………2分

∴拋物線的焦點坐標為，          ……………3分

準線的方程為                ……………4分

（2）證明：∵拋物線的方程為，過焦點且傾斜角為的直線的方程為

由可得 

解得點A、B的坐標為，……………6分

∵拋物線的準線方程為，設點M的坐標為，……………7分

則，，，……………8分

由……………9分

知、、成等差數列。               ……………10分

（3）本小題可根考生不同的答題情況給予評分

①推廣命題：若拋物線的方程為，過焦點F的直線交拋物線于A、B 兩點，M為拋物線準線上的一點，直線、、的斜率分別記為、、，則、、成等差數列。                                       ……………12分

證明：

拋物線的焦點坐標為，當直線平行于軸時，

由（2）知命題成立。                                         ……………13分

設M點坐標為

當直線不平行于軸時，設的方程為，其與拋物線的交點坐標為、，則有，

由  得 ，即        ……………14分

，

，∴，即  、、成等差數列………16分

②推廣命題：若拋物線的方程為，過焦點F的直線交拋物線于A、B 兩點，M為拋物線準線上的一點，直線、、的斜率分別記為、、，則、、成等差數列。                          ……………13分

證明：拋物線的焦點F的坐標為，準線方程為，設M點坐標為

設與拋物線的交點坐標為、，則有，

（ⅰ）當直線平行于軸時，直線的方程為

此時有 ……………14分

（ⅱ）當直線不平行于軸時，直線的方程可設為

由     得     ……………15分

，

，∴，即  、、成等差數列…18分