Question

已知函數f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

．
（1）寫出該函數的單調區間；
（2）若函數g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點，求實數m的取值范圍；
（3）若f（x）≤n²-2bn+1對所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求實數n的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）x≤0的圖象部分可由圖象變換作出；x＞0的部分為拋物線的一部分．
（2）數形結合法：轉化為直線y=m與函數f（x）的圖象有三個交點．
（3）將f （x）≤n²-2bn+1對所有x∈[-1，1]恒成立，轉化為[f（x）]_max≤n²-2bn+1即n²-2bn≥0在b∈[-1，1]恒成立，從而建立關于n的不等關系，求出n的取值范圍．

解答：解：（1）函數f（x）的圖象如右圖；
函數f（x）的單調遞減區間是（0，1）單調增區間是（-∞，0）及（1，+∞）…（3分）
（2）作出直線y=m，
函數g（x）=f（x）-m恰有3個不同零點等價于函數y=m
與函數f（x）的圖象恰有三個不同公共點．
由函數f(x)=

2-( 1 3 )x，x≤0 1 2 x2-x+1，x＞0

又f（0）=1 f（1）=

1

2

∴m∈(

1

2

，1)…（6分）
（3）∵f （x）≤n²-2bn+1對所有x∈[-1，1]恒成立
∴[f（x）]_max≤n²-2bn+1，[f（x）]_max=f（1）=1
∴n²-2bn+1≥1即n²-2bn≥0在b∈[-1，1]恒成立
∴y=-2nb+n²在b∈[-1，1]恒大于等于0                …（9分）
∴

-2n×(-1)+n2≥0 -2n×1+n2≥0

，∴

n≥0或n≤-2 n≤0或n≥2

∴n的取值范圍是（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）…（12分）

點評：本題考查了函數圖象的作法、函數的單調性及函數零點問題，本題的解決過程充分體現了數形結合思想的作用．