Question

在公差為d（d≠0）的等差數列{a_n}和公比為q的等比數列{b_n}中，a₂=b₁=3，a₅=b₂，a₁₄=b₃．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）令cn=ban，求數列{cn}的前n項和Tn．

Answer 1

分析：（1）由題意，設等差數列公差為d，等比數列公差為q，則 a₁+d=b₁=3 a₁+4d=3q，a₁+13d=3q²，由此能求出數列{a_n}與{b_n}的通項公式．
（2）由（1）知cn=ban=3^2n-1=

1

3

×9n．由此能求出T_n．

解答：解：（1）由題意，設等差數列公差為d，
等比數列公差為q，
∵a₂=b₁=3，a₅=b₂，a₁₄=b₃．
∴a₁+d=b₁=3，
a₁+4d=3q，①
a₁+13d=3q²，②
把a₁=3-d分別代入①，②，
解得，q=3或q=1（舍去）
把q=3代入，則d=2，a₁=1，
所以，等差數列的通項公式為a_n=1+2（n-1）=2n-1，
等比數列的通項公式為b_n=3•3^n-1=3ⁿ．
（2）cn=ban=3^2n-1=

1

3

×9n．
∴Tn= 

1 3 ×9(1-9n)

1-9

=

3

8

(9n-1)．

點評：本題考查等差數列和等比數列的綜合運用，解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．