Question

已知拋物線L的方程為x²=2py（p＞0），直線y=x截拋物線L所得弦長為．
（Ⅰ）求p的值；
（Ⅱ）若直角三角形ABC的三個頂點在拋物線L上，且直角頂點B的橫坐標為1，過點A、C分別作拋物線L的切線，兩切線相交于點D，直線AC與y軸交于點E，當直線BC的斜率在[3，4]上變化時，直線DE斜率是否存在最大值，若存在，求其最大值和直線BC的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ） 解：由解得A（0，0），B（2p，2p）…2分
∴=AB=，
∴p= …5分
（Ⅱ） 解：B（1，1），設A（），C（），=x₁+x₂，
設BC的斜率為k，則?x²-kx+k-1=0，
△=k²-4k+4≥0，
又1+x₂=k?x₂=k-1，C（k-1，（k-1）²），，
k_AC=x₁+x₂=k--2，
直線AC的方程為y-（k-1）²=（k--2）[x-（k-1）]，
令x=0，y=k-，所以E（0，k-），
AD：y-=2x₁（x-x₁）?y=2x₁x-，
同理CD：y=2x₂x-，
聯立兩方程得D（（k--2），），
k_ED====-4，
令u=-k，在[3，4]遞減，所以，當k=3時，k_ED最大為，
所以，BC的方程為y-1=4（x-1）即4x-y-3=0…12分
分析：（Ⅰ）聯立方程組，利用弦長公式，直接求出p的值；
（Ⅱ）設A（），C（），設BC的斜率為k，，求出k_AC，得到直線AC的方程，求出ED的斜率，利用函數的單調性求出斜率AD的最大值，求出BC的方程．
點評：本題是中檔題，考查直線與圓錐曲線方程的綜合問題，設而不求的思想，韋達定理的應用，函數的單調性等知識，考查計算能力轉化思想的應用．