Question

已知三角形ABC的三個內角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，且b2+c2-bc=a2；

c

b

=

1

2

+

3

．則tanB=

1

2

．

Answer 1

分析：利用余弦定理表示出cosA，把已知的第一個等式變形后代入求出cosA的值，由A為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出A的度數，進而得到B+C的度數，用B表示出C，再利用正弦定理化簡第二個等式，把表示出的C代入，移項合并后利用同角三角函數間的基本關系化簡，可求出tanB的值．

解答：解：∵b²+c²-bc=a²，即b²+c²-a²=bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

1

2

，又C為三角形的內角，
∴A=60°，即B+C=120°，
∴C=120°-B，
根據正弦定理得

sinC

sinB

=

sin(120°-B)

sinB

=

c

b

=

1+2 3

2

，
整理得：

3

cosB+sinB=2

3

sinB+sinB，
解得：2sinB=cosB，
則tanB=

1

2

．
故答案為：

1

2

點評：此題考查了正弦、余弦定理，兩角和與差的正弦函數公式以及特殊角的三角函數值，正弦、余弦定理很好的建立了三角形的邊角關系，熟練掌握定理是解本題的關鍵．