Question

如圖所示，F₁，F₂分別為橢圓的左、右焦點，橢圓上點M的橫坐標等于右焦點的橫坐標，其縱坐標等于短半軸長的

2

3

，求橢圓的離心率．

Answer 1

分析：設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c，可得M（c，

2

3

b），利用勾股定理與橢圓的定義建立關于a、b、c的等式，化簡整理得b=

2

3

a，從而得出c=

a2-b2

=

5

3

a，即可算出該橢圓的離心率．

解答：解：設橢圓的長半軸、短半軸、半焦距長分別為a、b、c，
可得焦點為F₁（-c，0）、F₂（c，0），點M的坐標為（c，

2

3

b），
∵Rt△MF₁F₂中，F₁F₂⊥MF₂，
∴|F₁F₂|²+|MF₂|²=|MF₁|²，即4c²+

4

9

b²=|MF₁|²，
根據橢圓的定義得|MF₁|+|MF₂|=2a，
可得|MF₁|²=（2a-|MF₂|）²=（2a-

2

3

b）²，
∴（2a-

2

3

b）²=4c²+

4

9

b²，整理得4c²=4a²-

8

3

ab，
可得3（a²-c²）=2ab，所以3b²=2ab，解得b=

2

3

a，
∴c=

a2-b2

=

5

3

a，
因此可得e=

c

a

=

5

3

，
即該橢圓的離心率等于

5

3

．

點評：本題已知橢圓滿足的條件，求橢圓的離心率的大小．著重考查了橢圓的定義、標準方程與簡單幾何性質等知識，考查了勾股定理的應用，屬于中檔題．