Question

（2009•江蘇一模）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x）=2x-9，且f（0）的值為整數(shù)，當(dāng)x∈（n，n+1]（n∈N^*）時(shí)，f（x）的值為整數(shù)的個(gè)數(shù)有且只有1個(gè)，則n=

4

．

Answer 1

分析：因?yàn)閒'（x）=2x-9，所以可設(shè)f（x）=x²-9x+k，則f（0）=k為整數(shù)，由于n為正整數(shù)，可得f（n+1）及f（n）均為整數(shù)，函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為x=4.5，利用函數(shù)的最大值與最小值的差，可得結(jié)論．

解答：解：因?yàn)閒′（x）=2x-9，所以可設(shè)f（x）=x²-9x+k，
由f（0）=k，k為整數(shù)，n為正整數(shù)，可得f（n+1）及f（n）均為整數(shù)．
配方可得f（x）=x²-9x+k=（x-4.5）²-4.5²+k，為開(kāi)口向上的二次函數(shù)，對(duì)稱(chēng)軸為x=4.5
當(dāng)x∈（4，5]時(shí)，f（x）_max-f（x）_min=f（5）-f（4.5）=0.25，
又f（5）=-20+k∈Z，故只有1個(gè)整數(shù)f（5）．
即當(dāng)x∈（4，5]時(shí)，f（x）的值為整數(shù)的個(gè)數(shù)有且只有1個(gè)
故答案為：4

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)解析式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．