Question

設函數f（x）對任意x，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且x＞0時f（x）＜0，f（1）=-1
（1）求證：f（x）是奇函數
（2）判斷f（x）的單調性并證明
（3）試問當-3≤x≤3時f（x）是否有最值？如果有，求出最值；如果沒有說出理由

Answer 1

解：（1）令x=y=0，f（0）=0
令y=-x
∴f（-x）+f（x）=f（0）=0
∴f（x）是奇函數
（2）設x₁＞x₂
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）＜0
∴f（x）是減函數
（3）f（3）=f（2+1）=f（2）+f（1）=3f（1）=-3
f（-3）=3
由（2）知f（x）是減函數
∴最大值為3，最小值為-3
分析：（1）先令x=y=0，求得f（0），再令y=-x構造f（-x）+f（x）=f（0）得結論．
（2）先設x₁＞x₂，∴由主條件構造f（x₁）-f（x₂）=f（x₁-x₂）由x＞0時f（x）＜0得證．
（3）由（2）知f（x）是減函數，則在端點處取得最大值和最小值．
點評：本題主要考查抽象函數奇偶性和單調性以及函數最值的求法，這類問題用賦值法和性質的定義比較常見．