Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）在區(qū)間[

π

8

，

3π

4

]上的最大值和最小值及取得最大最小值時對應x的值．

Answer 1

分析：（1）利用兩角和差的正弦公式、二倍角公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為

2

sin（2x+

π

4

），由此求得函數(shù)的最小正周期．
（2）根據(jù)x的范圍求得2x+

π

4

的范圍，從而求得sin（2x+

π

4

）的范圍，可得函數(shù)f（x）的最值，以及取得最大最小值時對應x的值．

解答：解：（1）函數(shù)f（x）=cos²x+2sinxcosx-sin²x=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），故函數(shù)的最小正周期等于

2π

2

=π．
（2）∵

π

8

≤x≤

3π

4

，∴

π

2

≤2x+

π

4

≤

7π

4

，∴-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，∴-

2

≤f（x）≤

2

．
當2x+

π

4

=

3π

2

，即x=

5π

8

時，函數(shù)f（x）取得最小值為-

2

，當2x+

π

4

=

π

2

，即x=

π

8

時，函數(shù)f（x）取得最大值為

2

．

點評：本題主要考查兩角和差的正弦公式、二倍角公式，正弦函數(shù)的周期性、定義域和值域，屬于中檔題．